لاحتمالات

الاحتمالات
يرتبط مفهوم الاحتمال ارتباطا وثيقا بمفهومين اساسين هما الاختبار (او التجربة -فضاء العينة) والحادث . وعليه ضرورة تحديد هذين المفهومين تحديدا دقيقا . فلو اننا سحبنا شيئا من مجموعة او قمنا بقياس سرعة السيارات المارة في شارع ما فاننا نقوم في هذه الحالات قد قمنا باختبار او تجربة . وحساب الاحتمالات يعطي الاختبار مفهوم اوسع واشمل واعم . الا اننا غالبا ما نصب اهتمامنا على دراسة جزء من نتيجة تجربة او الاختبار فناخذ مثلا للنتيجة كلها .
1- فضاء العينة sample space : هي المجموعة التي عناصرها جميع النتائج الممكنة للتجربة او الاختبار وتسمى ايضا المجموعة الاساسية للاحتمالات ويرمز لها مثلا الرمز F .
مثال : اذا القينا قطعة نقود مرة واحدة فان فضاء العينة يكون :
F=(p, T) 00
حيث p صورة و T الكتابة
2-الحادث Event : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة لتجربة ما اي انه مجموعة محددة من من الحوادث الابتدائية التي تنتمي لفضاء العينة .

ففي المثال السابق يمثل الحصول على الوجه P حادثا وكذلك الحصول على الوجه الاخر T .
انواع الاحداث
تقسم احداث الى:-
1- الاحداث المستقلة : Independent event
هي الاحداث التي تحدث مستقلة عن الاحداث الاخرى او هي كل حدث يحدث بمعزل عن الحدث الاخر . فمثلا عند رمي قطعة نقود مرتين فان حادثة ظهور الصورة في الرمية الاولى لاتؤثر (مستقلة ) على ظهور صورة الكتابة في الرمية الثانية.
2-الاحداث المتنافية : Multyually exclusive
هي حديثين احدهما ينفي الاخر ، اي لايمكن ان يحدثا سوية في نفس الوقت. مثلا عند رمي قطعة النقود فان نتيجة الرمية هي اما صورة او كتابة ولايمكن ظهور الاثنين معا لنفس القطعة .
3- الاحداث ذات الفرص المتساوية : Equally Likely eventيقال ان النتائج الممكنة لمحالوة تمتلك نفس الفرصة (فرصة متساوية ) اذا لم يكن هنالك سبب لتفضيل نتيجة على اخرى . فمثلا عند رمي قطعة النقود عشوائيا فان للصورة او الكتابة نفس الفرصة في الظهور.
4-الاحداث المعتمدة Dependent events
اذا كان وقوع حادثة معينة يؤثر في وقوع حادثة اخرى (اومجموعة حوادث اخرى) عندئذ يقال ان هاتان الحادثتان معتمدتان . على سبيل المثال فان درجة الحرارة في احد الايام الاسبوع تتاثر بدرجة حراارة اليوم السابق له او الايام السابقة له .

5- الحالات الكلية (الممكنة ) Exhaustive cases
ان العدد الكلي للنتائج الممكنة في اية محاولة يدعى بالحالات الكلية . فعند رمي قطعة نقود يلاحظ ان النائج الكلية (الممكنة ) لهذة المحاولة هي (صورة ، كتابة ) ولايوجد غيرهما . ومثال اخر هو درجة الطالب في الامتحان فالحالات الكلية للدرجة التي يمكن ان يحصل عليها الطالب في الامتحان تتاروح بين الصفر و100 فلا يمكن ان يحصل الطالب اقل من الصفر او اكثر من 100 .
6- الحالات الممكنة لوقوع لحادثة معينة Favourable cases
ان العددد الكلي للحالات التي تشترك بصفة معينة او ميزة معينة في اية محاولة يمثل عدد نتائج تلك المحاولة الممكنة لوقوع حادثة . على سبيل المثال عند رمي زهري نرد فان عدد الحالات الممكنة التي تشترك بصفة ان كون مجموع النقاط مساو الى 5 هو اربعة حالات ووهي ( 1 ،4 ) ( 4 ، 1 ) ( 2 ، 3 ) ( 3 ، 2 )
بعض من قوانين الاحتمال : Some laws of Probability
1- قانون الجمع للاحداث المتنافية: اذا كان هناك حديثين متنافين فاحتمال الحصول على اي منهما يساوي حاصل جمع احتمال الحصول على كل منها على انفراد . انظر الشكل المرفق.

مثال : اذا كانت لدينا تجربة لها احتمالان هما ام A او B ماهو احتمال الحصول على (A ، B )

P(A or B)= p(A)+P(B) ....... 1

2-قانون الضرب للاحداث المستقلة: وهو خاص بالاحداث المستقلة اذا كانت لدينا حديثن مستقلين فاحتمال الحصول على كلا الحدثين يساوي حاصل ضرب حصول كل من الحدثين على انفراد .

اي ان :

P(A or B)= p(A)XP(B) ....... 2
بعض من قوانين الاحتمال 1- قانون الجمع للاحداث غير المتنافية : يعتبر الحدثان A و B غير متنافين اذا كان وقوع A لايحجب وقوع B والعكس بالعكس فيكون

P(A , B) = P(A) +P (B) -P(A ,B) ...1

وتطرح قيمة( P(A ,B حتى نتجنب من حسابها مرتين .

2-قانون الضرب للاحداث غير المستقلة : يعتبر الحدثان غير مستقلين اذا كان وقوع احدهما مرتبطا بطريقة ما بوقوع الاخر . عندئذ يكون :

P(A , B) = P(A) *P (B) -P(A / B) ...2

ويقرا هذا القانون كلاتي ((احتمال وقوع كل من الحدثين A و B يساوي احتمال وقوع الحدث A مضروبا في احتمال وقوع الحدث B اذا علم ان الحدث A قد وقع فعلا ))
امثلة عملية على قوانين الاحتمال
اولا : عندما تكون الاحداث متنافية
مثال : سحبت قطرة دم من شخص يرغب فحص دمه . ماهو احتمال ان دم هذا الشخص من صنف غير الصنف O ؟
الحل
ان احتمال ان يكون دم هذا الشخص من صنف غير الصنف O هو :
بما ان اصناف الدم هي اما A او B او AB او O اذن
P (A or B or AB)= P((A)+P(B)+P(AB).........1
P (A or B or AB)= 1/4 +1/4+1/4 = 3/4 = 0.75
او بطريقة اخرى وبما ان مجموع الحالات الممكنة يساوي 1 فان احتمال O يكون
P(O) = 1-(1/4) = 3/4 = 0.75
ثانيا : عندما تكون الحواث غير متنافية :
مثال : اذا علمت ان احتمال سقوط المطر في احد ايام الربيع هو 0.52 وان احتمال كون الطقس مشمس هو 0.36 وان احتمال كون الطقس مشمس وممطر في ان واحد هو 0.18 ، ماهو احتمال ان يكون الطقس مشمس او ممطر .
الحل :
نفرض ان E1 تمثل حادثة سقوط المطر هذا اليوم . وان E2 تمثل حالة الطقس مشمس في هذا اليوم . عندئذ يكون :
P(E1 or E2) = P(E1) +P(E2) -P(E1E2) ......1
P(E1 or E2) = 0.52+0.36 -0.18 = 0.70
امثلة عملية على قوانين الاحتمال
ثالثا : عندما تكون الاحداث مستقلة
مثال : في وجبة انتاج مؤلفة من 12 وحدة توجد 4 وحدات معيبة . فاذا علمت انه تم سحب 3 وحدات من هذه الوجبة عشوائيا الواحدة تلو الاخرى . ماهو احتمال ان تكون هذه الوحدات الثلاثة :
أ- جيدة ، ب-معيبة
الحل :
واضح ان عدد الوحدات الجيدة هو 8 وعليه فان :
أ- احتمال سحب الوحدة الاولى وهي جيدة يكون P(E1)=8/12
احتمال سحب الوحدة الثانية وهي جيدة يكون P(E2)=7/11
احتمال سحب الوحدة الثالثة وهي جيدة يكون P(E3)=6/10
وحيث ان الحوادث مستقلة فان احتمال ان تكون الوحدات الثلاث المسحوبة بحالة جيدة هو :

P(E1 or E2 or E3 )= 8/12 * 7/11 * 6/10 = 0.255
ب-احتمال سحب الوحدة الاولى وهي معيبة يكون P(E1)=4/12
احتمال سحب الوحدة الثانية وهي معيبة يكون P(E2)=3/11
احتمال سحب الوحدة الثالثة وهي معيبة يكون P(E3)=2/10
وعليه فان احتمال ان تكون الوحدات الثلاثة المسحوبة معيبة هو
P(E1 or E2 or E3 )= 4/12 * 3/11 * 2/10 = 0.018
رابعا : عندما تكون (الاحتمالات الشرطية )الحواث المشروطة conditional event
مقدمة عن الاحتمالات الشرطية :
لتكن E1 حادثة محاولة معينة وان E2 حاثة اخرى وقوعها مشروط بوقوع الحادثة E1 . عندئذ فاناحتمال وقوع الحادثتين في ان واحد مساؤ لحاصل ضرب احتمال وقوع E1 في احتمال وقوع E2 المشورطة بوقوع E1 . ويرمز للاحتمال قوع E2 المشروطة بوقوع E1 بالشكل الاتي :
P(E2/E1) .....1
وستكون :
P(E1 or E2 ) = P(E1,E2) = P(E1) * P(E2/E1) ....2
وهذا يعني ان :
P (E2/E1) = P (E1,E2) / p(E1) ...3
وكذلك فان :
P (E1/E2) = P (E1,E2) / p(E2) ...4
وبذلك فان :
P(E1,E2)=P(E1)*P(E2/E1) =P(E2)* P(E1)/E2) ....5
وكذلك نلاحظ انه اذا كانت E1 مستقلة عن E2 فان :
P (E1,E2) = P (E1) * P(E2) ........6
وهذا يعني ان :
P(E2/E1) = P(E2) * P(E1/E2) = P(E1) ....7
مثال : لوحظ في احد المصانع ان ان 95% من الوحدات المنتجة هي بحالة جيدة . ومن بين كل 100 وحدة جيدة هنالك 70 اكثر جودة . اختيرات وحدة واحدة من انتاج احدى الوجبات عشوائيا . ماهو احتمال ان تكون هذه الوحدة من الواحدات الاكثر جودة .الحل :
نفرض ان E1 تمثل حالة الانتاج كونه جيد ، وان E2 تمثل حالة الانناج كونه اكثر جودة .
نلاحظ هنا انه حتى تكون الوحدة المختارة بحالة اكثر جودة يشترط ان تكون مصنفة ضمن الوحدات الجيدة . وهذا يعني الاحتمال المطلوب هو E1 و E2 وعليه فان :
احتمال ان الوحدة المختارة تكون هي بحالة جيدة هو P(E1)=0.95 وان احتمال ان تكون الوحدة المختارة هي اكثر جودة علما انها بحالة جيدة هو
P (E2 /E1) = 0.7
وعليه فان :
P (E1 and E2 )= P (E1) * P(E2/E1) ....1
P (E1 and E2 )= 0.95*0.7 = 0.665